通过学习等价关系，我们学会了如何通过等价关系构造商集，并将自然数集上的运算诱导到商集上，从而得到整数集与有理数集以及上面的运算。本文尝试通过同样的构造方法，将自然数集上的加法和乘法诱导到新的代数系统中，以此构造与布尔代数中逻辑加法与逻辑乘法等价的运算。
1.诱导运算
1.1 等价关系
1.1.1 等价关系的构造
定义[latex]\mathbb{N}[/latex]上关系R，[latex](a, b)\in R\iff a=0,b=0\; or\; a\not= 0,b\not= 0[/latex]
下面验证R为[latex]\mathbb{N}[/latex]上等价关系。
1.1.2 等价关系合理性验证：
(i)[latex]a = 0,a = 0\; or\; a != 0, a != 0\iff(a,a)[/latex]
(ii)显然[latex](a,b)\iff (b,a)[/latex]
(iii)显然[latex](a,b),(b,c)\implies (a,c)[/latex]
因此R为[latex]\mathbb{N}[/latex]上的等价关系~。
1.2 逻辑加法与逻辑乘法
1.2.1 逻辑加法与逻辑乘法的构造
记[latex]\mathbb{B}[/latex]的商集[latex]\mathbb{B}=\mathbb{N}/[/latex]~[latex]=\{ [0],[1] \}[/latex]
定义[latex]\mathbb{N}[/latex]上的运算[latex](+,\cdot)[/latex]为自然意义下整数集上的[latex](+,\cdot)[/latex]，诱导[latex]\mathbb{B}[/latex]上的[latex](+,\cdot )[/latex]映射：
[latex][a]+[b]:=[a+b],[a]\cdot [b]=[a\cdot b][/latex]
1.2.2 逻辑加法与逻辑乘法合理性验证
设a ~ c, b ~ d
(i)[latex]a=0,b=0\implies c=0,d=0\implies a+b=0,c+d=0,ab=0,cd=0[/latex]
(ii)[latex]a\not= 0,b\not= 0\implies a+b\not= 0,c+d\not= 0,ab\not= 0,cd\not= 0[/latex]
(iii)a,b其一为0，不妨设[latex]a=0,b\not= 0\implies c=0,d\not= 0\implies a+b\not= 0,c+d\not= 0,ab=0,cd=0[/latex]
因此[latex](a+b)[/latex]~[latex](c+d)[/latex]，[latex](ab)[/latex]~[latex](cd)[/latex]，[latex]\mathbb{B}[/latex]上的[latex](+,\cdot )[/latex]映射合理。
2 记号定义
2.1 记号重写
此时记[latex]0:=[0],1:=[1][/latex]，则[latex]\mathbb{B}[/latex]中[latex](+,\cdot )[/latex]分别为布尔代数下的逻辑加法（或运算）与逻辑乘法（与运算）。
有如下真值表：
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| [latex]\cdot[/latex] | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
所以零是零且非零，一是一或非一
2.2 非运算与异或运算
2.2.1 非运算
（这个定义有些牵强，如果你有好的诱导方法记得下方评论）
定义[latex]\mathbb{B}[/latex]上一元运算—，有如下真值表：
| A | 0 | 1 |
|---|---|---|
| [latex]\overline{\text{A}}[/latex] | 1 | 0 |
2.2.2 异或运算
定义[latex]\mathbb{B}[/latex]上二元运算[latex]\oplus[/latex]：
[latex]A\oplus B:=(A+B)\cdot (\overline{A} + \overline{B})[/latex]
有如下真值表：
| [latex]\oplus[/latex] | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
容易验证：[latex]A\oplus B=(A+B)\cdot (\overline{A} + \overline{B})=(A\cdot \overline{B})+(\overline{A}\cdot B)[/latex]
3 代数性质
3.1 交换律
对于[latex](\mathbb{B}, +,\cdot )[/latex]，由真值表容易验证其具有交换律：
[latex]A+B=B+A[/latex]
[latex]A\cdot B=B\cdot A[/latex]
因而得到异或交换律：
[latex]A\oplus B=B\oplus A[/latex]
3.2 结合律
对于[latex](\mathbb{B} ,+,\cdot ,\oplus )[/latex]，由真值表容易验证其具有结合律：
[latex](A+B)+C=A+(B+C)[/latex]
[latex](A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)[/latex]
[latex](A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)[/latex]
3.3 分配律
对于[latex](\mathbb{B} ,\oplus ,\cdot )[/latex]，由真值表容易验证其具有分配律：
[latex](A\oplus B)\cdot C=(A \cdot C)\oplus (B\cdot C)[/latex]
3.4 Abel群[latex](\mathbb{B}, \oplus)[/latex]
由以下条件可知[latex](\mathbb{B}, \oplus)[/latex]为Abel群：
(i)[latex](A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)[/latex]
(ii)[latex]A\oplus 0=A[/latex]
(iii)[latex]A\oplus A=0[/latex]
(iv)[latex]A\oplus B=B\oplus A[/latex]
3.5 可交换环[latex](\mathbb{B} ,\oplus ,\cdot )[/latex]
由以下条件可知[latex](\mathbb{B} ,\oplus ,\cdot )[/latex]为可交换环：
(i)[latex](\mathbb{B} ,\oplus)[/latex]为Abel群
(ii)[latex](\mathbb{B} ,\cdot)[/latex]满足结合律
(iii)[latex](\mathbb{B} ,\oplus ,\cdot )[/latex]满足分配律
注意由于[latex]a\not= 0,b\not= 0\implies ab=0[/latex]，故[latex](\mathbb{B} ,\oplus ,\cdot )[/latex]不是整环。
（或许还有其他性质？但是我没学过）